Problème ouvert 2021

Le règlement du problème ouvert a été un peu modifié cette année :
  1. les points obtenus au problème ouvert seront comptabilisés pour un classement spécial "problème ouvert".
  2. Ainsi, cette année, un prix spécial "problème ouvert" sera attribué à  une ou plusieurs classes pour récompenser les meilleures contributions.
  3. Ce prix spécial sera ouvert à  toutes les classes inscrites qu'elles aient participé ou non au rallye version classique ou version courte.

Cette année le probléme ouvert s'est inspiré de la trés belle affiche du rallye et des expressions algébriques qui tapissent le fond de l'image !
a et b sont deux entiers naturels non nuls.
  1. Quels sont tous les nombres naturels qui peuvent s'écrire sous la forme a + b + ab ? Sous la forme a + b — ab ?
  2. On s'intéresse maintenant aux expressions de la forme a2 + b2 + k . ab, k entier relatif. Quels sont tous les nombres naturels qui peuvent s'écrire sous la forme a2 + b2 + k . ab
    1. si k=1 ? k=-1 ?
    2. et si k était égal à 0 ?
    3. et si k = 2 ? -2 ?
    4. et si k est un entier relatif quelconque...
Téléchargez l'énoncé au format pdf
Explorez ce problème, répondez aux questions, proposez des conjectures, des démonstrations, des constructions, posez vous (et posez nous) d'autres questions, bref, faites des mathématiques !
Envoyez vos questions et toutes vos contributions en utilisant l'adresse de courriel pbouvertrmal@gmail.com
N'oubliez pas de noter le numéro d'inscription de votre classe !

Ce que vous aurez envoyé sera proposé à tous sur la page des réponses qui ne sera ouverte qu'à partir du 1er février.